Giải tích Ví dụ

$y = \frac{6}{(1 + e^{- x})}$ , $(0, 3)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 0$ và $y = 3$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{6}{1 + e^{- x}}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$

Bước 1.1.2

Viết lại $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ ở dạng ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 1 + e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $1 + e^{- x}$ .

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$6 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + e^{- x}$ .

$6 (- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $- 1$ với $6$ .

$- 6 ({(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Bước 1.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Bước 1.3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- x$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 1.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- x$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 1.5.2

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 1.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \cdot 1)$

Bước 1.5.4

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Sắp xếp lại các thừa số của $6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$6 e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

Bước 1.6.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Bước 1.6.3

Nhân $6 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1

Kết hợp $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ và $6$ .

$\frac{6}{{(1 + e^{- x})}^{2}} e^{- x}$

Bước 1.6.3.2

Kết hợp $\frac{6}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ và $e^{- x}$ .

$\frac{6 e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Bước 1.7

Tính đạo hàm tại $x = 0$ .

$\frac{6 e^{- (0)}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Bước 1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{6 e^{0}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Bước 1.8.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Bước 1.8.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Bước 1.8.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

Bước 1.8.2.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{2^{2}}$

Bước 1.8.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{6 \cdot 1}{4}$

Bước 1.8.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.3.1

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{6}{4}$

Bước 1.8.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Bước 1.8.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Bước 1.8.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Bước 1.8.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{2}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{3}{2}$ và một điểm đã cho $(0, 3)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{3}{2} \cdot (x - (0))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 3 = \frac{3}{2} \cdot (x + 0)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{3}{2} \cdot (x + 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Cộng $x$ và $0$ .

$y - 3 = \frac{3}{2} \cdot x$

Bước 2.3.1.2

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x$ .

$y - 3 = \frac{3 x}{2}$

Bước 2.3.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{3 x}{2} + 3$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{3}{2} x + 3$

Bước 3