Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{x^{3} - 1}$ at $x = 1$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $1$ vào cho $x$ .

$y = e^{{(1)}^{3} - 1}$

Bước 1.2

Rút gọn $e^{{(1)}^{3} - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = e^{1 - 1}$

Bước 1.2.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$y = e^{0}$

Bước 1.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$y = 1$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{3} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} - 1$ .

$e^{x^{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.2.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2} + 0)$

Bước 2.2.4

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2})$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{x^{3} - 1} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3} - 1} x^{2}$

Bước 2.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 e^{x^{3} - 1} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3} - 1}$

Bước 2.4

Tính đạo hàm tại $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{3} - 1}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 \cdot 1 e^{{(1)}^{3} - 1}$

Bước 2.5.2

Nhân $3$ với $1$ .

$3 e^{{(1)}^{3} - 1}$

Bước 2.5.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 e^{1 - 1}$

Bước 2.5.4

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$3 e^{0}$

Bước 2.5.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 2.5.6

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $3$ và một điểm đã cho $(1, 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \cdot (x - (1))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $3 \cdot (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot - 1$

Bước 3.3.1.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$y - 1 = 3 x - 3$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 3 x - 3 + 1$

Bước 3.3.2.2

Cộng $- 3$ và $1$ .

$y = 3 x - 2$

Bước 4