Giải tích Ví dụ

$f (x) = - x^{3} - 3 x^{2} - 3$ at $x = - 3$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $- 3$ vào cho $x$ .

$y = - {(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 3$

Bước 1.2

Rút gọn $- {(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$y = - - 27 - 3 {(- 3)}^{2} - 3$

Bước 1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 27$ .

$y = 27 - 3 {(- 3)}^{2} - 3$

Bước 1.2.1.3

Nhân $- 3$ với ${(- 3)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.3.1

Nhân $- 3$ với ${(- 3)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.3.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $1$ .

$y = 27 + {(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 3$

Bước 1.2.1.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = 27 + {(- 3)}^{1 + 2} - 3$

Bước 1.2.1.3.2

Cộng $1$ và $2$ .

$y = 27 + {(- 3)}^{3} - 3$

Bước 1.2.1.4

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$y = 27 - 27 - 3$

Bước 1.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Trừ $27$ khỏi $27$ .

$y = 0 - 3$

Bước 1.2.2.2

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$y = - 3$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = - 3$ và $y = - 3$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{3} - 3 x^{2} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{2}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$- 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$- 3 x^{2} - 6 x + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $- 3 x^{2} - 6 x$ và $0$ .

$- 3 x^{2} - 6 x$

Bước 2.5

Tính đạo hàm tại $x = - 3$ .

$- 3 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Nhân $- 3$ với ${(- 3)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1.1

Nhân $- 3$ với ${(- 3)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $1$ .

${(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3$

Bước 2.6.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${(- 3)}^{1 + 2} - 6 \cdot - 3$

Bước 2.6.1.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

${(- 3)}^{3} - 6 \cdot - 3$

Bước 2.6.1.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$- 27 - 6 \cdot - 3$

Bước 2.6.1.3

Nhân $- 6$ với $- 3$ .

$- 27 + 18$

Bước 2.6.2

Cộng $- 27$ và $18$ .

$- 9$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $- 9$ và một điểm đã cho $(- 3, - 3)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = - 9 \cdot (x - (- 3))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 3 = - 9 \cdot (x + 3)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $- 9 \cdot (x + 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y + 3 = 0 + 0 - 9 \cdot (x + 3)$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y + 3 = - 9 \cdot (x + 3)$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + 3 = - 9 x - 9 \cdot 3$

Bước 3.3.1.4

Nhân $- 9$ với $3$ .

$y + 3 = - 9 x - 27$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = - 9 x - 27 - 3$

Bước 3.3.2.2

Trừ $3$ khỏi $- 27$ .

$y = - 9 x - 30$

Bước 4