Giải tích Ví dụ

$g (x) = \frac{6 x}{x + 3}$ at $(- 1, - 3)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = - 1$ và $y = - 3$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{6 x}{x + 3}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x + 3$ .

$6 \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 1.3.2

Nhân $x + 3$ với $1$ .

$6 \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$6 \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 1.3.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$6 \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 1.3.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$6 \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 1.3.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$6 \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 1.3.6.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$6 \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 1.3.6.4

Cộng $0$ và $3$ .

$6 \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 1.3.6.5

Kết hợp $6$ và $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 1.3.6.6

Nhân $6$ với $3$ .

$\frac{18}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 1.4

Tính đạo hàm tại $x = - 1$ .

$\frac{18}{{((- 1) + 3)}^{2}}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Cộng $- 1$ và $3$ .

$\frac{18}{2^{2}}$

Bước 1.5.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{18}{4}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $18$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$\frac{2 (9)}{4}$

Bước 1.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Bước 1.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Bước 1.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9}{2}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{9}{2}$ và một điểm đã cho $(- 1, - 3)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = \frac{9}{2} \cdot (x - (- 1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 3 = \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{9}{2} \cdot (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y + 3 = 0 + 0 + \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y + 3 = \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + 3 = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot 1$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $\frac{9}{2}$ và $x$ .

$y + 3 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot 1$

Bước 2.3.1.5

Nhân $\frac{9}{2}$ với $1$ .

$y + 3 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} - 3$

Bước 2.3.2.2

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9 - 3 \cdot 2}{2}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9 - 6}{2}$

Bước 2.3.2.5.2

Trừ $6$ khỏi $9$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{3}{2}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{9}{2} x + \frac{3}{2}$

Bước 3