Giải tích Ví dụ

$g (x) = \frac{7 x}{x - 1}$ at $(2, 14)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = 14$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{7 x}{x - 1}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x - 1$ .

$7 \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 \frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.2

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$7 \frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$7 \frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 \frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$7 \frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$7 \frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$7 \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$7 \frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.4.1

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$7 \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$7 (- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}})$

Bước 1.3.6.4.3

Nhân $- 1$ với $7$ .

$- 7 \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.5

Kết hợp $- 7$ và $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 7}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{7}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.4

Tính đạo hàm tại $x = 2$ .

$- \frac{7}{{((2) - 1)}^{2}}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$- \frac{7}{1^{2}}$

Bước 1.5.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{7}{1}$

Bước 1.5.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Chia $7$ cho $1$ .

$- 1 \cdot 7$

Bước 1.5.2.2

Nhân $- 1$ với $7$ .

$- 7$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- 7$ và một điểm đã cho $(2, 14)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (14) = - 7 \cdot (x - (2))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 14 = - 7 \cdot (x - 2)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- 7 \cdot (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 14 = 0 + 0 - 7 \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 14 = - 7 \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 14 = - 7 x - 7 \cdot - 2$

Bước 2.3.1.4

Nhân $- 7$ với $- 2$ .

$y - 14 = - 7 x + 14$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $14$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - 7 x + 14 + 14$

Bước 2.3.2.2

Cộng $14$ và $14$ .

$y = - 7 x + 28$

Bước 3