Giải tích Ví dụ

$y = x^{\sin (x)}$ , $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{π}{2}$ và $y = \frac{π}{2}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $x^{\sin (x)}$ ở dạng $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

Bước 1.1.2

Khai triển $\ln (x^{\sin (x)})$ bằng cách di chuyển $\sin (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x) \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.4

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.5

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.6

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Bước 1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

Bước 1.7.2

Kết hợp $e^{\sin (x) \ln (x)}$ và $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

Bước 1.7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

Bước 1.8

Tính đạo hàm tại $x = \frac{π}{2}$ .

$e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Bước 1.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Bước 1.9.1.2

Rút gọn $1 \ln (\frac{π}{2})$ bằng cách di chuyển $1$ trong logarit.

$e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Bước 1.9.1.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(\frac{π}{2})}^{1} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Bước 1.9.1.4

Rút gọn.

$\frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Bước 1.9.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$\frac{π}{2} \cdot 0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Bước 1.9.1.6

Nhân $\frac{π}{2}$ với $0$ .

$0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Bước 1.9.1.7

Nhân $0$ với $\ln (\frac{π}{2})$ .

$0 + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Bước 1.9.1.8

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$0 + e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Bước 1.9.1.9

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$0 + e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Bước 1.9.1.10

Rút gọn $1 \ln (\frac{π}{2})$ bằng cách di chuyển $1$ trong logarit.

$0 + e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Bước 1.9.1.11

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$0 + {(\frac{π}{2})}^{1} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Bước 1.9.1.12

Rút gọn.

$0 + \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Bước 1.9.1.13

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot 1 \frac{2}{π}$

Bước 1.9.1.14

Nhân $\frac{π}{2}$ với $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Bước 1.9.1.15

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1.15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Bước 1.9.1.15.2

Viết lại biểu thức.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Bước 1.9.1.16

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1.16.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Bước 1.9.1.16.2

Viết lại biểu thức.

$0 + 1$

Bước 1.9.2

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $1$ và một điểm đã cho $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{2}) = 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{π}{2} = 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $x - \frac{π}{2}$ với $1$ .

$y - \frac{π}{2} = x - \frac{π}{2}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $\frac{π}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Bước 2.3.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Cộng $- \frac{π}{2}$ và $\frac{π}{2}$ .

$y = x + 0$

Bước 2.3.2.2.2

Cộng $x$ và $0$ .

$y = x$

Bước 3