Giải tích Ví dụ

$y = \frac{e^{8 x}}{x}$ , $(\frac{1}{8}, 8 e)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{1}{8}$ và $y = 8 e$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{8 x}$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{8 x}] - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $8 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x]) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [8 x]) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 x$ .

$\frac{x (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x (e^{8 x} (8 \cdot 1)) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Nhân $8$ với $1$ .

$\frac{x (e^{8 x} \cdot 8) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3.3.2

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $e^{8 x}$ .

$\frac{x (8 \cdot e^{8 x}) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x (8 e^{8 x}) - e^{8 x} \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x (8 e^{8 x}) - e^{8 x}}{x^{2}}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{8 x e^{8 x} - e^{8 x}}{x^{2}}$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{8 e^{8 x} x - e^{8 x}}{x^{2}}$

Bước 1.4.3

Đưa $e^{8 x}$ ra ngoài $8 e^{8 x} x - e^{8 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Đưa $e^{8 x}$ ra ngoài $8 e^{8 x} x$ .

$\frac{e^{8 x} (8 x) - e^{8 x}}{x^{2}}$

Bước 1.4.3.2

Đưa $e^{8 x}$ ra ngoài $- e^{8 x}$ .

$\frac{e^{8 x} (8 x) + e^{8 x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Bước 1.4.3.3

Đưa $e^{8 x}$ ra ngoài $e^{8 x} (8 x) + e^{8 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{8 x} (8 x - 1)}{x^{2}}$

Bước 1.5

Tính đạo hàm tại $x = \frac{1}{8}$ .

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} (8 (\frac{1}{8}) - 1)}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} (8 (\frac{1}{8}) - 1)}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Bước 1.6.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} (1 - 1)}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Bước 1.6.1.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Bước 1.6.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Bước 1.6.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{1} \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Bước 1.6.1.4

Rút gọn.

$\frac{e \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Bước 1.6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{8}$ .

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1^{2}}{8^{2}}}$

Bước 1.6.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{8^{2}}}$

Bước 1.6.2.3

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{64}}$

Bước 1.6.3

Nhân $e$ với $0$ .

$\frac{0}{\frac{1}{64}}$

Bước 1.6.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$0 \cdot 64$

Bước 1.6.5

Nhân $0$ với $64$ .

$0$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $0$ và một điểm đã cho $(\frac{1}{8}, 8 e)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8 e) = 0 \cdot (x - (\frac{1}{8}))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 8 e = 0 \cdot (x - \frac{1}{8})$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $0$ với $x - \frac{1}{8}$ .

$y - 8 e = 0$

Bước 2.3.2

Cộng $8 e$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 8 e$

Bước 3