Giải tích Ví dụ

$2 x^{2} + y^{3} = 5 y + 3 x$ , $(2, 2)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = 2$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 y + 3 x)$

Bước 1.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} + y^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 1.2.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$4 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$4 x + 3 y^{2} y'$

Bước 1.2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 y^{2} y' + 4 x$

Bước 1.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 y + 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 1.3.2

Tính $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 y$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 1.3.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$5 y' + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 1.3.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y' + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 y' + 3 \cdot 1$

Bước 1.3.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$5 y' + 3$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$3 y^{2} y' + 4 x = 5 y' + 3$

Bước 1.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Trừ $5 y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y^{2} y' + 4 x - 5 y' = 3$

Bước 1.5.2

Trừ $4 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y^{2} y' - 5 y' = 3 - 4 x$

Bước 1.5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $3 y^{2} y' - 5 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 5 y' = 3 - 4 x$

Bước 1.5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5 = 3 - 4 x$

Bước 1.5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5$ .

$y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$

Bước 1.5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ cho $3 y^{2} - 5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ cho $3 y^{2} - 5$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 y^{2} - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Bước 1.5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} - \frac{4 x}{3 y^{2} - 5}$

Bước 1.5.4.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Bước 1.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Bước 1.7

Tính giá trị tại $x = 2$ và $y = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 y^{2} - 5}$

Bước 1.7.2

Thay thế biến $y$ bằng $2$ trong biểu thức.

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 {(2)}^{2} - 5}$

Bước 1.7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.3.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$\frac{3 - 8}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

Bước 1.7.3.2

Trừ $8$ khỏi $3$ .

$\frac{- 5}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

Bước 1.7.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{- 5}{3 \cdot 4 - 5}$

Bước 1.7.4.2

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{- 5}{12 - 5}$

Bước 1.7.4.3

Trừ $5$ khỏi $12$ .

$\frac{- 5}{7}$

Bước 1.7.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{7}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{5}{7}$ và một điểm đã cho $(2, 2)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{5}{7} \cdot (x - (2))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 2 = - \frac{5}{7} x - \frac{5}{7} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $x$ và $\frac{5}{7}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} - \frac{5}{7} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.5

Nhân $- \frac{5}{7} \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + 2 (\frac{5}{7})$

Bước 2.3.1.5.2

Kết hợp $2$ và $\frac{5}{7}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{2 \cdot 5}{7}$

Bước 2.3.1.5.3

Nhân $2$ với $5$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{10}{7}$

Bước 2.3.1.6

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x$ .

$y - 2 = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2$

Bước 2.3.2.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 2 \cdot 7}{7}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $2$ với $7$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 14}{7}$

Bước 2.3.2.5.2

Cộng $10$ và $14$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{24}{7}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{5}{7} x) + \frac{24}{7}$

Bước 2.3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{5}{7} x + \frac{24}{7}$

Bước 3