Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}$ at the point where $x = 4$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $4$ vào cho $x$ .

$y = \sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

Bước 1.2

Rút gọn $\sqrt{25 - {(4)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

Bước 1.2.2

Nhân $- 1$ với $16$ .

$y = \sqrt{25 - 16}$

Bước 1.2.3

Trừ $16$ khỏi $25$ .

$y = \sqrt{9}$

Bước 1.2.4

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

Bước 1.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$y = 3$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 4$ và $y = 3$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{25 - x^{2}}$ ở dạng ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 25 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $25 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $25 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Bước 2.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Bước 2.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Bước 2.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Bước 2.7.3

Di chuyển ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Bước 2.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $25 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 2.9

Vì $25$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $25$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 2.10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.11

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Bước 2.13

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Bước 2.13.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Bước 2.13.3

Kết hợp $\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.13.4

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 2.14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.14.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.16

Tính đạo hàm tại $x = 4$ .

$- \frac{4}{{(25 - {(4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.17

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.17.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.17.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{4}{{(25 - 1 \cdot 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.17.1.2

Nhân $- 1$ với $16$ .

$- \frac{4}{{(25 - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.17.2

Trừ $16$ khỏi $25$ .

$- \frac{4}{9^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.17.3

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$- \frac{4}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.17.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 2.17.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.17.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 2.17.5.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{4}{3^{1}}$

Bước 2.17.6

Tính số mũ.

$- \frac{4}{3}$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{4}{3}$ và một điểm đã cho $(4, 3)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{4}{3} \cdot (x - (4))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $- \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 3 = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 4$

Bước 3.3.1.4

Kết hợp $x$ và $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 4$

Bước 3.3.1.5

Nhân $- \frac{4}{3} \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 (\frac{4}{3})$

Bước 3.3.1.5.2

Kết hợp $4$ và $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{4 \cdot 4}{3}$

Bước 3.3.1.5.3

Nhân $4$ với $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{16}{3}$

Bước 3.3.1.6

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$y - 3 = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3}$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3$

Bước 3.3.2.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.3.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Bước 3.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 3 \cdot 3}{3}$

Bước 3.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.5.1

Nhân $3$ với $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 9}{3}$

Bước 3.3.2.5.2

Cộng $16$ và $9$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{25}{3}$

Bước 3.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{25}{3}$

Bước 3.3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{25}{3}$

Bước 4