Giải tích Ví dụ

$g (x) = \frac{3 x}{x + 1}$ at $(2, 2)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = 2$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 x}{x + 1}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x + 1$ .

$3 \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.2

Nhân $x + 1$ với $1$ .

$3 \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$3 \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$3 \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$3 \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.4

Cộng $0$ và $1$ .

$3 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.5

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{3}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 1.4

Tính đạo hàm tại $x = 2$ .

$\frac{3}{{((2) + 1)}^{2}}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{3}{3^{2}}$

Bước 1.5.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{3}{9}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (1)}{9}$

Bước 1.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Bước 1.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Bước 1.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{1}{3}$ và một điểm đã cho $(2, 2)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{3} \cdot (x - (2))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{1}{3} \cdot (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 2 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 2$ .

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Bước 2.3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - 2 = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2$

Bước 2.3.2.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $2$ với $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 6}{3}$

Bước 2.3.2.5.2

Cộng $- 2$ và $6$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

Bước 3