Giải tích Ví dụ

$y = \frac{6 x}{x^{2} + 1}$ at the origin and at the point $(1, 3)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = 3$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{6 x}{x^{2} + 1}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

$6 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.2

Nhân $x^{2} + 1$ với $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$6 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.3.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$6 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.7

Cộng $1$ và $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.8

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$6 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.9

Kết hợp $6$ và $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{6 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{6 (- x^{2}) + 6 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.2.1

Nhân $- 1$ với $6$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 6 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.10.2.2

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 6}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.11

Tính đạo hàm tại $x = 1$ .

$\frac{- 6 {(1)}^{2} + 6}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{- 6 \cdot 1 + 6}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.12.1.2

Nhân $- 6$ với $1$ .

$\frac{- 6 + 6}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.12.1.3

Cộng $- 6$ và $6$ .

$\frac{0}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1.12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{0}{{(1 + 1)}^{2}}$

Bước 1.12.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{0}{2^{2}}$

Bước 1.12.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{0}{4}$

Bước 1.12.3

Chia $0$ cho $4$ .

$0$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $0$ và một điểm đã cho $(1, 3)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 0 \cdot (x - (1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 3 = 0 \cdot (x - 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $0$ với $x - 1$ .

$y - 3 = 0$

Bước 2.3.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 3$

Bước 3