Giải tích Ví dụ

$f (x) = - 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ at $x = - \frac{π}{4}$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $- \frac{π}{4}$ vào cho $x$ .

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Bước 1.2.2

Rút gọn $- 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$y = - 5 \cot (\frac{7 π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Bước 1.2.2.1.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cotang âm trong góc phần tư thứ tư.

$y = - 5 (- \cot (\frac{π}{4})) - \frac{5 π}{2} - 4$

Bước 1.2.2.1.3

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$y = - 5 (- 1 \cdot 1) - \frac{5 π}{2} - 4$

Bước 1.2.2.1.4

Nhân $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y = - 5 \cdot - 1 - \frac{5 π}{2} - 4$

Bước 1.2.2.1.4.2

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$y = 5 - \frac{5 π}{2} - 4$

Bước 1.2.2.2

Trừ $4$ khỏi $5$ .

$y = 1 - \frac{5 π}{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = - \frac{π}{4}$ và $y = 1 - \frac{5 π}{2}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 \cot (x)$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$- 5 (- \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 2.2.3

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$5 \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- \frac{5 π}{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{5 π}{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 2.3.2

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + 0$

Bước 2.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Cộng $5 \csc^{2} (x)$ và $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $5 \csc^{2} (x)$ và $0$ .

$5 \csc^{2} (x)$

Bước 2.5

Tính đạo hàm tại $x = - \frac{π}{4}$ .

$5 \csc^{2} (- \frac{π}{4})$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$5 \csc^{2} (\frac{7 π}{4})$

Bước 2.6.2

Áp dụng góc quy chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosecant âm trong góc phần tư thứ tư.

$5 {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Bước 2.6.3

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{4})$ là $\sqrt{2}$ .

$5 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Bước 2.6.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \sqrt{2}$ .

$5 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Bước 2.6.4.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$5 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Bước 2.6.4.3

Nhân ${\sqrt{2}}^{2}$ với $1$ .

$5 {\sqrt{2}}^{2}$

Bước 2.6.5

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 2.6.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 2.6.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.6.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.6.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$5 \cdot 2^{1}$

Bước 2.6.5.5

Tính số mũ.

$5 \cdot 2$

Bước 2.6.6

Nhân $5$ với $2$ .

$10$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $10$ và một điểm đã cho $(- \frac{π}{4}, 1 - \frac{5 π}{2})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1 - \frac{5 π}{2}) = 10 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $10 \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 0 + 0 + 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 10 \frac{π}{4}$

Bước 3.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 (5) \frac{π}{4}$

Bước 3.3.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 5 \frac{π}{2}$

Bước 3.3.1.5

Kết hợp $5$ và $\frac{π}{2}$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2}$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1$

Bước 3.3.2.2

Trừ $\frac{5 π}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$

Bước 3.3.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = 10 x + \frac{5 π - 5 π}{2} + 1$

Bước 3.3.2.3.2

Trừ $5 π$ khỏi $5 π$ .

$y = 10 x + \frac{0}{2} + 1$

Bước 3.3.2.4

Chia $0$ cho $2$ .

$y = 10 x + 0 + 1$

Bước 3.3.2.5

Cộng $10 x$ và $0$ .

$y = 10 x + 1$

Bước 4