Giải tích Ví dụ

$y = \sec (x) - 6 \cos (x)$ , $P = (\frac{π}{3}, - 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{π}{3}$ và $y = - 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sec (x) - 6 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 \cos (x)$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sec (x) \tan (x) - 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - 6 (- \sin (x))$

Bước 1.3.3

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$\sec (x) \tan (x) + 6 \sin (x)$

Bước 1.4

Tính đạo hàm tại $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{3})$ là $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3}) + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Bước 1.5.1.2

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Bước 1.5.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \sqrt{3} + 6 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 1.5.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 \sqrt{3} + 2 (3) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 1.5.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \sqrt{3} + 2 \cdot 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 1.5.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

Bước 1.5.2

Cộng $2 \sqrt{3}$ và $3 \sqrt{3}$ .

$5 \sqrt{3}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $5 \sqrt{3}$ và một điểm đã cho $P = (\frac{π}{3}, - 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 5 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y + 1 = 0 + 0 + 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Bước 2.3.1.4

Nhân $5 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.4.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

Bước 2.3.1.4.2

Kết hợp $\frac{π}{3}$ và $- 5$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 5}{3} \sqrt{3}$

Bước 2.3.1.4.3

Kết hợp $\frac{π \cdot - 5}{3}$ và $\sqrt{3}$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 2.3.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Di chuyển $- 5$ sang phía bên trái của $π$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

Bước 2.3.1.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3}$

Bước 2.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} - 1$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 2.3.3.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Bước 2.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 π \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}$

Bước 2.3.3.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 π \sqrt{3} - 3}{3}$

Bước 2.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 5 π \sqrt{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3}) - 3}{3}$

Bước 2.3.3.6

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3}) - 1 (3)}{3}$

Bước 2.3.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (5 π \sqrt{3}) - 1 (3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3} + 3)}{3}$

Bước 2.3.3.8

Viết lại $- (5 π \sqrt{3} + 3)$ ở dạng $- 1 (5 π \sqrt{3} + 3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (5 π \sqrt{3} + 3)}{3}$

Bước 2.3.3.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3} + 3}{3}$

Bước 3