Giải tích Ví dụ

$y = x^{4} e^{- x}$ , $(1, \frac{1}{e})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = \frac{1}{e}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.3.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.3.3.3

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Bước 1.5

Tính đạo hàm tại $x = 1$ .

$- {(1)}^{4} e^{- (1)} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 1 \cdot 1 e^{- (1)} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

Bước 1.6.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 e^{- (1)} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

Bước 1.6.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 e^{- 1} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

Bước 1.6.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \frac{1}{e} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

Bước 1.6.1.5

Viết lại $- 1 \frac{1}{e}$ ở dạng $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

Bước 1.6.1.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{1}{e} + 4 \cdot 1 e^{- (1)}$

Bước 1.6.1.7

Nhân $4$ với $1$ .

$- \frac{1}{e} + 4 e^{- (1)}$

Bước 1.6.1.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{e} + 4 e^{- 1}$

Bước 1.6.1.9

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} + 4 \frac{1}{e}$

Bước 1.6.1.10

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + \frac{4}{e}$

Bước 1.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 + 4}{e}$

Bước 1.6.2.2

Cộng $- 1$ và $4$ .

$\frac{3}{e}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{3}{e}$ và một điểm đã cho $(1, \frac{1}{e})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{e}) = \frac{3}{e} \cdot (x - (1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{1}{e} = \frac{3}{e} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Trừ $\frac{3}{e} \cdot (x - 1)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y - \frac{1}{e} - \frac{3}{e} \cdot (x - 1) = 0$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{1}{e} - \frac{3}{e} x - \frac{3}{e} \cdot - 1 = 0$

Bước 2.3.1.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{e}$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 3}{e} - \frac{3}{e} \cdot - 1 = 0$

Bước 2.3.1.2.3

Nhân $- \frac{3}{e} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 3}{e} + 1 \frac{3}{e} = 0$

Bước 2.3.1.2.3.2

Nhân $\frac{3}{e}$ với $1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 3}{e} + \frac{3}{e} = 0$

Bước 2.3.1.2.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{3 x}{e} + \frac{3}{e} = 0$

Bước 2.3.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y + \frac{- 1 - 3 x + 3}{e} = 0$

Bước 2.3.1.4

Cộng $- 1$ và $3$ .

$y + \frac{- 3 x + 2}{e} = 0$

Bước 2.3.1.5

Để viết $y$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e}{e}$ .

$\frac{y e}{e} + \frac{- 3 x + 2}{e} = 0$

Bước 2.3.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y e - 3 x + 2}{e} = 0$

Bước 2.3.2

Cho tử bằng không.

$y e - 3 x + 2 = 0$

Bước 2.3.3

Giải phương trình để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Cộng $3 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y e + 2 = 3 x$

Bước 2.3.3.1.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y e = 3 x - 2$

Bước 2.3.3.2

Chia mỗi số hạng trong $y e = 3 x - 2$ cho $e$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $y e = 3 x - 2$ cho $e$ .

$\frac{y e}{e} = \frac{3 x}{e} + \frac{- 2}{e}$

Bước 2.3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y e}{e} = \frac{3 x}{e} + \frac{- 2}{e}$

Bước 2.3.3.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{3 x}{e} + \frac{- 2}{e}$

Bước 2.3.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{3 x}{e} - \frac{2}{e}$

Bước 2.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{3}{e} x - \frac{2}{e}$

Bước 3