Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ , $(1, e)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = e$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x e^{x}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 1.3.5

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 1.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Trừ $2 x e^{x}$ khỏi $e^{x} (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 1.5.2.1.2

Trừ $2 x e^{x}$ khỏi $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 1.5.2.2

Cộng $x^{2} e^{x}$ và $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 1.5.2.3

Cộng $- 2 e^{x}$ và $2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0$

Bước 1.5.2.4

Cộng $x^{2} e^{x}$ và $0$ .

$x^{2} e^{x}$

Bước 1.5.3

Sắp xếp lại các thừa số của $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2}$

Bước 1.5.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{2}$ .

$x^{2} e^{x}$

Bước 1.6

Tính đạo hàm tại $x = 1$ .

${(1)}^{2} e^{1}$

Bước 1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 e^{1}$

Bước 1.7.2

Nhân $e^{1}$ với $1$ .

$e^{1}$

Bước 1.7.3

Rút gọn.

$e$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $e$ và một điểm đã cho $(1, e)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (e) = e \cdot (x - (1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - e = e \cdot (x - 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $e \cdot (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - e = 0 + 0 + e \cdot (x - 1)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - e = e x + e \cdot - 1$

Bước 2.3.1.2.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e$ .

$y - e = e x - 1 \cdot e$

Bước 2.3.1.3

Viết lại $- 1 e$ ở dạng $- e$ .

$y - e = e x - e$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $e$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = e x - e + e$

Bước 2.3.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $e x - e + e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Cộng $- e$ và $e$ .

$y = e x + 0$

Bước 2.3.2.2.2

Cộng $e x$ và $0$ .

$y = e x$

Bước 3