Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} - 5}$ ; $(3, 3)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 3$ và $y = 3$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 x}{x^{2} - 5}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} - 5$ .

$4 \frac{(x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.3.2

Nhân $x^{2} - 5$ với $1$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.3.5

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.3.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.7

Cộng $1$ và $1$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.8

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.9

Kết hợp $4$ và $\frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.10.2.2

Nhân $4$ với $- 5$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 20}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.10.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x^{2} - 20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2}) - 20}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.10.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 20$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (- 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.10.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- x^{2}) + 4 (- 5)$ .

$\frac{4 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.10.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\frac{4 (- (x^{2}) - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.10.5

Viết lại $- 5$ ở dạng $- 1 (5)$ .

$\frac{4 (- (x^{2}) - 1 (5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.10.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - 1 (5)$ .

$\frac{4 (- (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.10.7

Viết lại $- (x^{2} + 5)$ ở dạng $- 1 (x^{2} + 5)$ .

$\frac{4 (- 1 (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.10.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 (x^{2} + 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.11

Tính đạo hàm tại $x = 3$ .

$- \frac{4 ({(3)}^{2} + 5)}{{({(3)}^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{4 (9 + 5)}{{(3^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.12.1.2

Cộng $9$ và $5$ .

$- \frac{4 \cdot 14}{{(3^{2} - 5)}^{2}}$

Bước 1.12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{4 \cdot 14}{{(9 - 5)}^{2}}$

Bước 1.12.2.2

Trừ $5$ khỏi $9$ .

$- \frac{4 \cdot 14}{4^{2}}$

Bước 1.12.2.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{4 \cdot 14}{16}$

Bước 1.12.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.3.1

Nhân $4$ với $14$ .

$- \frac{56}{16}$

Bước 1.12.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $56$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.3.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $56$ .

$- \frac{8 (7)}{16}$

Bước 1.12.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.3.2.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $16$ .

$- \frac{8 \cdot 7}{8 \cdot 2}$

Bước 1.12.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{8 \cdot 7}{8 \cdot 2}$

Bước 1.12.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{7}{2}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{7}{2}$ và một điểm đã cho $(3, 3)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{7}{2} \cdot (x - (3))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 3 = - \frac{7}{2} \cdot (x - 3)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- \frac{7}{2} \cdot (x - 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{7}{2} \cdot (x - 3)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 3 = - \frac{7}{2} \cdot (x - 3)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 3 = - \frac{7}{2} x - \frac{7}{2} \cdot - 3$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $x$ và $\frac{7}{2}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 7}{2} - \frac{7}{2} \cdot - 3$

Bước 2.3.1.5

Nhân $- \frac{7}{2} \cdot - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 7}{2} + 3 (\frac{7}{2})$

Bước 2.3.1.5.2

Kết hợp $3$ và $\frac{7}{2}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 7}{2} + \frac{3 \cdot 7}{2}$

Bước 2.3.1.5.3

Nhân $3$ với $7$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 7}{2} + \frac{21}{2}$

Bước 2.3.1.6

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x$ .

$y - 3 = - \frac{7 x}{2} + \frac{21}{2}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{7 x}{2} + \frac{21}{2} + 3$

Bước 2.3.2.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{7 x}{2} + \frac{21}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{7 x}{2} + \frac{21}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{7 x}{2} + \frac{21 + 3 \cdot 2}{2}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $3$ với $2$ .

$y = - \frac{7 x}{2} + \frac{21 + 6}{2}$

Bước 2.3.2.5.2

Cộng $21$ và $6$ .

$y = - \frac{7 x}{2} + \frac{27}{2}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{7}{2} x) + \frac{27}{2}$

Bước 2.3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{7}{2} x + \frac{27}{2}$

Bước 3