Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ at $x = 2$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $2$ vào cho $x$ .

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{1}{{(2^{3} - (2))}^{2}}$

Bước 1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Bước 1.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$y = \frac{1}{{(8 - (2))}^{2}}$

Bước 1.2.3.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y = \frac{1}{{(8 - 2)}^{2}}$

Bước 1.2.3.3

Trừ $2$ khỏi $8$ .

$y = \frac{1}{6^{2}}$

Bước 1.2.3.4

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{1}{36}$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = \frac{1}{36}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ ở dạng ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}]$

Bước 2.1.2

Nhân các số mũ trong ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{2 \cdot - 1}]$

Bước 2.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{- 2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 2}$ và $g (x) = x^{3} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} - x$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 2.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1)$

Bước 2.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Bước 2.5.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$ .

$- (3 x^{2} - 1) \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}}$

Bước 2.6

Tính đạo hàm tại $x = 2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{({(2)}^{3} - (2))}^{3}}$

Bước 2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - (2))}^{3}}$

Bước 2.7.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - 2)}^{3}}$

Bước 2.7.1.3

Trừ $2$ khỏi $8$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{6^{3}}$

Bước 2.7.1.4

Nâng $6$ lên lũy thừa $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{216}$

Bước 2.7.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- (3 \cdot 4 - 1) \frac{2}{216}$

Bước 2.7.2.1.2

Nhân $3$ với $4$ .

$- (12 - 1) \frac{2}{216}$

Bước 2.7.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.2.1

Trừ $1$ khỏi $12$ .

$- 1 \cdot 11 \frac{2}{216}$

Bước 2.7.2.2.2

Nhân $- 1$ với $11$ .

$- 11 (\frac{2}{216})$

Bước 2.7.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $216$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- 11 \frac{2 (1)}{216}$

Bước 2.7.2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $216$ .

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Bước 2.7.2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Bước 2.7.2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 11 (\frac{1}{108})$

Bước 2.7.2.2.4

Kết hợp $- 11$ và $\frac{1}{108}$ .

$\frac{- 11}{108}$

Bước 2.7.2.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{11}{108}$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{11}{108}$ và một điểm đã cho $(2, \frac{1}{36})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{36}) = - \frac{11}{108} \cdot (x - (2))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $- \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{1}{36} = 0 + 0 - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} x - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Bước 3.3.1.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{11}{108}$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Bước 3.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{11}{108}$ vào tử số.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{108} \cdot - 2$

Bước 3.3.1.2.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $108$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 (54)} \cdot - 2$

Bước 3.3.1.2.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Bước 3.3.1.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Bước 3.3.1.2.3.5

Viết lại biểu thức.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{54} \cdot - 1$

Bước 3.3.1.2.4

Kết hợp $\frac{- 11}{54}$ và $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11 \cdot - 1}{54}$

Bước 3.3.1.2.5

Nhân $- 11$ với $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{11}{54}$

Bước 3.3.1.3

Di chuyển $11$ sang phía bên trái của $x$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54}$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $\frac{1}{36}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} + \frac{1}{36}$

Bước 3.3.2.2

Để viết $\frac{11}{54}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36}$

Bước 3.3.2.3

Để viết $\frac{1}{36}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.3.2.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $108$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.4.1

Nhân $\frac{11}{54}$ với $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{54 \cdot 2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.3.2.4.2

Nhân $54$ với $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.3.2.4.3

Nhân $\frac{1}{36}$ với $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{36 \cdot 3}$

Bước 3.3.2.4.4

Nhân $36$ với $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{108}$

Bước 3.3.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2 + 3}{108}$

Bước 3.3.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.6.1

Nhân $11$ với $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{22 + 3}{108}$

Bước 3.3.2.6.2

Cộng $22$ và $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{25}{108}$

Bước 3.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{11}{108} x) + \frac{25}{108}$

Bước 3.3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{11}{108} x + \frac{25}{108}$

Bước 4