Giải tích Ví dụ

$4 x^{2} + 2 y^{2} = 12$ , $(1, - 2)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = - 2$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (12)$

Bước 1.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} + 2 y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Bước 1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Bước 1.2.2.3

Nhân $2$ với $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Bước 1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 x + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$8 x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 1.2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$8 x + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Bước 1.2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$8 x + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 1.2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$8 x + 2 (2 y y')$

Bước 1.2.3.4

Nhân $2$ với $2$ .

$8 x + 4 y y'$

Bước 1.2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 y y' + 8 x$

Bước 1.3

Vì $12$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $12$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$4 y y' + 8 x = 0$

Bước 1.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Trừ $8 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 y y' = - 8 x$

Bước 1.5.2

Chia mỗi số hạng trong $4 y y' = - 8 x$ cho $4 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 y y' = - 8 x$ cho $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 8 x}{4 y}$

Bước 1.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 8 x}{4 y}$

Bước 1.5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{4 y}$

Bước 1.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{4 y}$

Bước 1.5.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{4 y}$

Bước 1.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 8 x$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x)}{4 y}$

Bước 1.5.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.3.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 y$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x)}{4 (y)}$

Bước 1.5.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{4 (- 2 x)}{4 y}$

Bước 1.5.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

Bước 1.5.2.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

Bước 1.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

Bước 1.7

Tính giá trị tại $x = 1$ và $y = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$- \frac{2 (1)}{y}$

Bước 1.7.2

Thay thế biến $y$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$- \frac{2 (1)}{- 2}$

Bước 1.7.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{1}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Bước 1.7.4

Nhân $- (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- - 1$

Bước 1.7.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $1$ và một điểm đã cho $(1, - 2)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = 1 \cdot (x - (1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 2 = 1 \cdot (x - 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$y + 2 = x - 1$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = x - 1 - 2$

Bước 2.3.2.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$y = x - 3$

Bước 3