Giải tích Ví dụ

$f (x) = - 4 x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- 1} - 5$ at the point $(4, - \frac{57}{4})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 4$ và $y = - \frac{57}{4}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 4 x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- 1} - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2.9

Kết hợp $- 4$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2.10

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2.11

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2.12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2.12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.2.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x^{- 1}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.3.3

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.4

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{- 2} + 0$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Bước 1.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}} + 0$

Bước 1.5.2.2

Cộng $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}}$ và $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}}$

Bước 1.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.6

Tính đạo hàm tại $x = 4$ .

$\frac{5}{{(4)}^{2}} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{5}{16} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.7.1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{5}{16} - \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.7.1.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 1.7.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 1.7.1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{1}}$

Bước 1.7.1.2.4

Tính số mũ.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2}$

Bước 1.7.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2}$

Bước 1.7.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{16} - 1 \cdot 1$

Bước 1.7.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{5}{16} - 1$

Bước 1.7.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{16}{16}$ .

$\frac{5}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}$

Bước 1.7.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{16}{16}$ .

$\frac{5}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Bước 1.7.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5 - 1 \cdot 16}{16}$

Bước 1.7.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.5.1

Nhân $- 1$ với $16$ .

$\frac{5 - 16}{16}$

Bước 1.7.5.2

Trừ $16$ khỏi $5$ .

$\frac{- 11}{16}$

Bước 1.7.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{11}{16}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{11}{16}$ và một điểm đã cho $(4, - \frac{57}{4})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{57}{4}) = - \frac{11}{16} \cdot (x - (4))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y + \frac{57}{4} = 0 + 0 - \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11}{16} x - \frac{11}{16} \cdot - 4$

Bước 2.3.1.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{11}{16}$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} - \frac{11}{16} \cdot - 4$

Bước 2.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{11}{16}$ vào tử số.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{16} \cdot - 4$

Bước 2.3.1.2.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 (4)} \cdot - 4$

Bước 2.3.1.2.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Bước 2.3.1.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Bước 2.3.1.2.3.5

Viết lại biểu thức.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.2.4

Kết hợp $\frac{- 11}{4}$ và $- 1$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11 \cdot - 1}{4}$

Bước 2.3.1.2.5

Nhân $- 11$ với $- 1$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{11}{4}$

Bước 2.3.1.3

Di chuyển $11$ sang phía bên trái của $x$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11 x}{16} + \frac{11}{4}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Trừ $\frac{57}{4}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{11}{4} - \frac{57}{4}$

Bước 2.3.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{- 11 x}{16} + \frac{11 - 57}{4}$

Bước 2.3.2.3

Trừ $57$ khỏi $11$ .

$y = \frac{- 11 x}{16} + \frac{- 46}{4}$

Bước 2.3.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{- 46}{4}$

Bước 2.3.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 46$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 46$ .

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 (- 23)}{4}$

Bước 2.3.2.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.4.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 \cdot - 23}{2 \cdot 2}$

Bước 2.3.2.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 \cdot - 23}{2 \cdot 2}$

Bước 2.3.2.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{- 23}{2}$

Bước 2.3.2.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{11 x}{16} - \frac{23}{2}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{11}{16} x) - \frac{23}{2}$

Bước 2.3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{11}{16} x - \frac{23}{2}$

Bước 3