Giải tích Ví dụ

$y = {(x^{2} - x)}^{3}$ at $(2, 8)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = 8$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x^{2} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - x$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 1.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1 \cdot 1)$

Bước 1.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1)$

Bước 1.3

Tính đạo hàm tại $x = 2$ .

$3 {({(2)}^{2} - (2))}^{2} (2 (2) - 1)$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$3 {(4 - (2))}^{2} (2 (2) - 1)$

Bước 1.4.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$3 {(4 - 2)}^{2} (2 (2) - 1)$

Bước 1.4.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$3 \cdot 2^{2} (2 (2) - 1)$

Bước 1.4.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$3 \cdot 4 (2 (2) - 1)$

Bước 1.4.2.3

Nhân $3$ với $4$ .

$12 (2 (2) - 1)$

Bước 1.4.2.4

Nhân $2$ với $2$ .

$12 (4 - 1)$

Bước 1.4.2.5

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$12 \cdot 3$

Bước 1.4.2.6

Nhân $12$ với $3$ .

$36$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $36$ và một điểm đã cho $(2, 8)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = 36 \cdot (x - (2))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 8 = 36 \cdot (x - 2)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $36 \cdot (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 8 = 0 + 0 + 36 \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 8 = 36 \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 8 = 36 x + 36 \cdot - 2$

Bước 2.3.1.4

Nhân $36$ với $- 2$ .

$y - 8 = 36 x - 72$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 36 x - 72 + 8$

Bước 2.3.2.2

Cộng $- 72$ và $8$ .

$y = 36 x - 64$

Bước 3