Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{2}{3} x^{2} - 2 x + 5$ at $(2, \frac{11}{3})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = \frac{11}{3}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{2}{3} x^{2} - 2 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{3} x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.2.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.2.5

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 + 0$

Bước 1.4.2

Cộng $\frac{4 x}{3} - 2$ và $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 2$

Bước 1.5

Tính đạo hàm tại $x = 2$ .

$\frac{4 (2)}{3} - 2$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{8}{3} - 2$

Bước 1.6.2

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 1.6.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Bước 1.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{8 - 2 \cdot 3}{3}$

Bước 1.6.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{8 - 6}{3}$

Bước 1.6.5.2

Trừ $6$ khỏi $8$ .

$\frac{2}{3}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{2}{3}$ và một điểm đã cho $(2, \frac{11}{3})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{11}{3}) = \frac{2}{3} \cdot (x - (2))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{2}{3} \cdot (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{11}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x$ .

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.5

Nhân $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $- 2$ .

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3}$

Bước 2.3.1.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3}$

Bước 2.3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $\frac{11}{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{11}{3}$

Bước 2.3.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{2 x - 4 + 11}{3}$

Bước 2.3.2.3

Cộng $- 4$ và $11$ .

$y = \frac{2 x + 7}{3}$

Bước 2.3.2.4

Tách phân số $\frac{2 x + 7}{3}$ thành hai phân số.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{7}{3}$

Bước 3