Giải tích Ví dụ

$y = \sec (x) - 2 \cos (x)$ , $p = (\frac{π}{3}, 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{π}{3}$ và $y = 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sec (x) - 2 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \cos (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sec (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - 2 (- \sin (x))$

Bước 1.3.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\sec (x) \tan (x) + 2 \sin (x)$

Bước 1.4

Tính đạo hàm tại $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{3})$ là $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Bước 1.5.1.2

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Bước 1.5.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 1.5.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 1.5.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Bước 1.5.2

Cộng $2 \sqrt{3}$ và $\sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $3 \sqrt{3}$ và một điểm đã cho $p = (\frac{π}{3}, 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Bước 2.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{3}$ vào tử số.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Bước 2.3.1.4.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sqrt{3}$ .

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 (\sqrt{3}) \frac{- π}{3}$

Bước 2.3.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Bước 2.3.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- π)$

Bước 2.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- π) + 1$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1 π + 1$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\sqrt{3}$ .

$y = 3 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3} π + 1$

Bước 2.3.3.2.2

Viết lại $- 1 \sqrt{3}$ ở dạng $- \sqrt{3}$ .

$y = 3 \sqrt{3} x - \sqrt{3} π + 1$

Bước 3