Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{8 + x^{3}}$ , $(1, 3)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = 3$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{8 + x^{3}}$ ở dạng ${(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 8 + x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $8 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 + x^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Bước 1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Bước 1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Bước 1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Bước 1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Bước 1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Bước 1.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Bước 1.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Bước 1.7.3

Di chuyển ${(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Bước 1.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 + x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 1.9

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 1.10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

Bước 1.12

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

Bước 1.12.2

Kết hợp $\frac{3}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.13

Tính đạo hàm tại $x = 1$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 {(8 + {(1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.14.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(8 + 1^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.14.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.14.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(8 + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.14.2.2

Cộng $8$ và $1$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.14.2.3

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.14.2.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 1.14.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.14.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 1.14.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3^{1}}$

Bước 1.14.2.6

Tính số mũ.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Bước 1.14.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.14.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3}$

Bước 1.14.3.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{3}{6}$

Bước 1.14.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.14.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (1)}{6}$

Bước 1.14.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.14.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Bước 1.14.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Bước 1.14.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{1}{2}$ và một điểm đã cho $(1, 3)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 3 = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 3 = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 3 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$y - 3 = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - 3 = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + 3$

Bước 2.3.2.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $3$ với $2$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 1 + 6}{2}$

Bước 2.3.2.5.2

Cộng $- 1$ và $6$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$

Bước 3