Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1 + x}{8 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{9})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 0$ và $y = \frac{1}{9}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 + x$ và $g (x) = 8 + e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.2.5

Nhân $8 + e^{x}$ với $1$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.2.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.2.7

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.2.8

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{8 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.4.3.1.2

Viết lại $- 1 e^{x}$ ở dạng $- e^{x}$ .

$\frac{8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.4.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.1

Trừ $e^{x}$ khỏi $e^{x}$ .

$\frac{8 + 0 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.4.3.2.2

Cộng $8$ và $0$ .

$\frac{8 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- e^{x} x + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- e^{x} x$ .

$\frac{- (e^{x} x) + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.4.6

Viết lại $8$ ở dạng $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.4.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (e^{x} x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.4.8

Viết lại $- (e^{x} x - 8)$ ở dạng $- 1 (e^{x} x - 8)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.4.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.4.10

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x e^{x} - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Bước 1.5

Tính đạo hàm tại $x = 0$ .

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Viết lại $0 \cdot e^{0}$ ở dạng ${(0 \cdot e^{0})}^{3}$ .

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Bước 1.6.1.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 2^{3}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Bước 1.6.1.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 0 \cdot e^{0}$ và $b = 2$ .

$- \frac{(0 \cdot e^{0} - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Bước 1.6.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.4.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{(0 \cdot 1 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Bước 1.6.1.4.2

Nhân $0$ với $1$ .

$- \frac{(0 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Bước 1.6.1.4.3

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Bước 1.6.1.4.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.4.4.1

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$0 \cdot e^{0} \cdot 2 = 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2$

Bước 1.6.1.4.4.2

Viết lại đa thức này.

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Bước 1.6.1.4.4.3

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = 0 \cdot e^{0}$ và $b = 2$ .

$- \frac{- 2 {(0 \cdot e^{0} + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Bước 1.6.1.4.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{- 2 {(0 \cdot 1 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Bước 1.6.1.4.6

Nhân $0$ với $1$ .

$- \frac{- 2 {(0 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Bước 1.6.1.4.7

Cộng $0$ và $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 2^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Bước 1.6.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

Bước 1.6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + e^{0})}^{2}}$

Bước 1.6.2.2

Viết lại $e^{0}$ ở dạng ${(e^{0})}^{3}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + {(e^{0})}^{3})}^{2}}$

Bước 1.6.2.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = 2$ và $b = e^{0}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + e^{0}) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Bước 1.6.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.4.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + 1) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Bước 1.6.2.4.2

Cộng $2$ và $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Bước 1.6.2.4.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Bước 1.6.2.4.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 \cdot 1 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Bước 1.6.2.4.5

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

Bước 1.6.2.4.6

Nhân các số mũ trong ${(e^{0})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.4.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0 \cdot 2}))}^{2}}$

Bước 1.6.2.4.6.2

Nhân $0$ với $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0}))}^{2}}$

Bước 1.6.2.4.7

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + 1))}^{2}}$

Bước 1.6.2.4.8

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2 + 1))}^{2}}$

Bước 1.6.2.4.9

Cộng $2$ và $1$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 \cdot 3)}^{2}}$

Bước 1.6.2.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \cdot 3$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{3^{2} \cdot 3^{2}}$

Bước 1.6.2.6

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 3^{2}}$

Bước 1.6.2.7

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 9}$

Bước 1.6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1

Nhân $- 2$ với $4$ .

$- \frac{- 8}{9 \cdot 9}$

Bước 1.6.3.2

Nhân $9$ với $9$ .

$- \frac{- 8}{81}$

Bước 1.6.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{8}{81}$

Bước 1.6.4

Nhân $- - \frac{8}{81}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{8}{81})$

Bước 1.6.4.2

Nhân $\frac{8}{81}$ với $1$ .

$\frac{8}{81}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{8}{81}$ và một điểm đã cho $(0, \frac{1}{9})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{9}) = \frac{8}{81} \cdot (x - (0))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot (x + 0)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{8}{81} \cdot (x + 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Cộng $x$ và $0$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot x$

Bước 2.3.1.2

Kết hợp $\frac{8}{81}$ và $x$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{8 x}{81}$

Bước 2.3.2

Cộng $\frac{1}{9}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{8 x}{81} + \frac{1}{9}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{8}{81} x + \frac{1}{9}$

Bước 3