Giải tích Ví dụ

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{4}$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $\frac{π}{4}$ vào cho $x$ .

$y = 4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Bước 1.2.2

Rút gọn $4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = 4 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Bước 1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y = 2 (2) \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Bước 1.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 2 \cdot 2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Bước 1.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4})$

Bước 1.2.2.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 1.2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 (\sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 1.2.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 1.2.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$y = \sqrt{2} \sqrt{2}$

Bước 1.2.2.5

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}$

Bước 1.2.2.6

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}$

Bước 1.2.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Bước 1.2.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$y = {\sqrt{2}}^{2}$

Bước 1.2.2.9

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.9.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 1.2.2.9.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 1.2.2.9.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

Bước 1.2.2.9.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.9.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

Bước 1.2.2.9.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = 2^{1}$

Bước 1.2.2.9.5

Tính số mũ.

$y = 2$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{π}{4}$ và $y = 2$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \sin (x) \cos (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.5

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.8

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Bước 2.9

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Bước 2.10

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Bước 2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Bước 2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Bước 2.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

Bước 2.13.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

Bước 2.13.3

Viết lại $4 \cos^{2} (x)$ ở dạng ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

Bước 2.13.4

Viết lại $4 \sin^{2} (x)$ ở dạng ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

Bước 2.13.5

Sắp xếp lại $- {(2 \sin (x))}^{2}$ và ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

Bước 2.13.6

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2 \cos (x)$ và $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

Bước 2.13.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Bước 2.13.8

Khai triển $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Bước 2.13.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Bước 2.13.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 2.13.9

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.9.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ và $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 2.13.9.2

Cộng $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ và $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 2.13.9.3

Cộng $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ và $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 2.13.10

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.10.1

Nhân $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.10.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 2.13.10.1.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 2.13.10.1.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 2.13.10.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 2.13.10.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 2.13.10.2

Nhân $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.10.2.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

Bước 2.13.10.2.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Bước 2.13.10.2.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Bước 2.13.10.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Bước 2.13.10.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Bước 2.14

Tính đạo hàm tại $x = \frac{π}{4}$ .

$4 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.3

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$4 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.3.5

Tính số mũ.

$4 \frac{2}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 (\frac{2}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{2}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$2 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.6

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 - 4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 2.15.1.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 - 4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.8

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.8.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - 4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.8.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.8.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2 - 4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.8.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.8.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 - 4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.8.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 - 4 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.8.5

Tính số mũ.

$2 - 4 \frac{2}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.9

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$2 - 4 (\frac{2}{4})$

Bước 2.15.1.10

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.10.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$2 + 4 (- 1) \frac{2}{4}$

Bước 2.15.1.10.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 + 4 \cdot - 1 \frac{2}{4}$

Bước 2.15.1.10.3

Viết lại biểu thức.

$2 - 1 \cdot 2$

Bước 2.15.1.11

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 - 2$

Bước 2.15.2

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$0$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $0$ và một điểm đã cho $(\frac{π}{4}, 2)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 0 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 2 = 0 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $0$ với $x - \frac{π}{4}$ .

$y - 2 = 0$

Bước 3.3.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 2$

Bước 4