Giải tích Ví dụ

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $\frac{π}{3}$ vào cho $x$ .

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Bước 1.2.2

Rút gọn $2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$y = \sin (2 \frac{π}{3})$

Bước 1.2.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{3}$ .

$y = \sin (\frac{2 π}{3})$

Bước 1.2.2.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$y = \sin (\frac{π}{3})$

Bước 1.2.2.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{π}{3}$ và $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin (x) \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.5

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.8

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Bước 2.9

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Bước 2.10

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Bước 2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Bước 2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Bước 2.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Bước 2.13.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Bước 2.14

Tính đạo hàm tại $x = \frac{π}{3}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.15.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.15.1.3

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.15.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.15.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.15.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.15.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 2 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.15.1.3.5

Tính số mũ.

$- 2 \frac{3}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.15.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 2 (\frac{3}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.15.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{3}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.15.1.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.15.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.15.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$- 1 (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.15.1.6

Viết lại $- 1 (\frac{3}{2})$ ở dạng $- (\frac{3}{2})$ .

$- (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.15.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Bước 2.15.1.8

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.9

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{3}{2} + 2 (\frac{1}{4})$

Bước 2.15.1.11

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 (2)}$

Bước 2.15.1.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2}$

Bước 2.15.1.11.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 2.15.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 3 + 1}{2}$

Bước 2.15.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.2.2.1

Cộng $- 3$ và $1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Bước 2.15.2.2.2

Chia $- 2$ cho $2$ .

$- 1$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $- 1$ và một điểm đã cho $(\frac{π}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $- 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 x - 1 (- \frac{π}{3})$

Bước 3.3.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x - 1 (- \frac{π}{3})$

Bước 3.3.1.5

Nhân $- 1 (- \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + 1 \frac{π}{3}$

Bước 3.3.1.5.2

Nhân $\frac{π}{3}$ với $1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + \frac{π}{3}$

Bước 3.3.2

Cộng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - x + \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 3.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để viết $\frac{π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 3.3.3.2

Để viết $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.3.3.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.3.1

Nhân $\frac{π}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.3.3.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.3.3.3.3

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.3.3.4

Nhân $2$ với $3$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Bước 3.3.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - x + \frac{π \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Bước 3.3.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.5.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$y = - x + \frac{2 \cdot π + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Bước 3.3.3.5.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sqrt{3}$ .

$y = - x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{6}$

Bước 4