Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 2$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $2$ vào cho $x$ .

$y = {(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = {(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.2.2

Rút gọn ${(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Nhân $10$ với $2$ .

$y = {(20 - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.2.2.1.2

Trừ $4$ khỏi $20$ .

$y = 16^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.2.2.1.3

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.2.2.1.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 1.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y = 4^{1}$

Bước 1.2.2.3

Tính số mũ.

$y = 4$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = 4$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 10 x - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $10 x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $10 x - 4$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Bước 2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Bước 2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Bước 2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Bước 2.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Bước 2.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Bước 2.6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Bước 2.6.3

Di chuyển ${(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $10 x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 2.8

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 2.10

Nhân $10$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 2.11

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

Bước 2.12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Cộng $10$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

Bước 2.12.2

Kết hợp $\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ và $10$ .

$\frac{10}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.12.3

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 2.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{{(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.14

Tính đạo hàm tại $x = 2$ .

$\frac{5}{{(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.15

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Nhân $10$ với $2$ .

$\frac{5}{{(20 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.15.2

Trừ $4$ khỏi $20$ .

$\frac{5}{16^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.15.3

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{5}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.15.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 2.15.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 2.15.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{4^{1}}$

Bước 2.15.6

Tính số mũ.

$\frac{5}{4}$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{5}{4}$ và một điểm đã cho $(2, 4)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{5}{4} \cdot (x - (2))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 4 = \frac{5}{4} \cdot (x - 2)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $\frac{5}{4} \cdot (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{5}{4} \cdot (x - 2)$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 4 = \frac{5}{4} \cdot (x - 2)$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 4 = \frac{5}{4} x + \frac{5}{4} \cdot - 2$

Bước 3.3.1.4

Kết hợp $\frac{5}{4}$ và $x$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{4} \cdot - 2$

Bước 3.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 (2)} \cdot - 2$

Bước 3.3.1.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Bước 3.3.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Bước 3.3.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2} \cdot - 1$

Bước 3.3.1.6

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $- 1$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Bước 3.3.1.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.7.1

Nhân $5$ với $- 1$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5}{2}$

Bước 3.3.1.7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - 4 = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2}$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + 4$

Bước 3.3.2.2

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 3.3.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Bước 3.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5 + 4 \cdot 2}{2}$

Bước 3.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.5.1

Nhân $4$ với $2$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5 + 8}{2}$

Bước 3.3.2.5.2

Cộng $- 5$ và $8$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{3}{2}$

Bước 3.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{5}{4} x + \frac{3}{2}$

Bước 4