Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ , $(2, 2)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = 2$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ ở dạng ${(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ và $g (x) = 2 x^{3} + 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x^{3} + 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x^{3} + 8 x$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Bước 1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Bước 1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Bước 1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Bước 1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Bước 1.6.2

Trừ $5$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Bước 1.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Bước 1.7.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{{(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Bước 1.7.3

Di chuyển ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Bước 1.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{3} + 8 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Bước 1.9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Bước 1.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x])$

Bước 1.11

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x])$

Bước 1.12

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \cdot 1)$

Bước 1.14

Nhân $8$ với $1$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$

Bước 1.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.15.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$ .

$(6 x^{2} + 8) \frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.15.2

Nhân $6 x^{2} + 8$ với $\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{6 x^{2} + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.15.3

Đưa $2$ ra ngoài $6 x^{2} + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.15.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.15.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.15.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (3 x^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.16

Tính đạo hàm tại $x = 2$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2 {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.17.1

Nhân $2$ với ${(2)}^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.17.1.1

Nhân $2$ với ${(2)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.17.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1} {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.17.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1 + 3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.17.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.17.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.17.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot 4 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.17.2.2

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{2 (12 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.17.2.3

Cộng $12$ và $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.17.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.17.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.17.3.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.17.3.1.2

Nhân $8$ với $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 16)}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.17.3.2

Cộng $16$ và $16$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.17.3.3

Viết lại $32$ ở dạng $2^{5}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}$

Bước 1.17.3.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Bước 1.17.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.17.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Bước 1.17.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{4}}$

Bước 1.17.3.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 16}$

Bước 1.17.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.17.4.1

Nhân $2$ với $16$ .

$\frac{32}{5 \cdot 16}$

Bước 1.17.4.2

Nhân $5$ với $16$ .

$\frac{32}{80}$

Bước 1.17.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $32$ và $80$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.17.4.3.1

Đưa $16$ ra ngoài $32$ .

$\frac{16 (2)}{80}$

Bước 1.17.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.17.4.3.2.1

Đưa $16$ ra ngoài $80$ .

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

Bước 1.17.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

Bước 1.17.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{5}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{2}{5}$ và một điểm đã cho $(2, 2)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{2}{5} \cdot (x - (2))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{2}{5} \cdot (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 2 = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $x$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.5

Nhân $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $- 2$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

Bước 2.3.1.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

Bước 2.3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - 2 = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2$

Bước 2.3.2.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 2 \cdot 5}{5}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $2$ với $5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 10}{5}$

Bước 2.3.2.5.2

Cộng $- 4$ và $10$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{6}{5}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{6}{5}$

Bước 3