Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{4 x + 7}$ , $x = 4$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $4$ vào cho $x$ .

$y = \sqrt{4 (4) + 7}$

Bước 1.2

Rút gọn $\sqrt{4 (4) + 7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân $4$ với $4$ .

$y = \sqrt{16 + 7}$

Bước 1.2.2

Cộng $16$ và $7$ .

$y = \sqrt{23}$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 4$ và $y = \sqrt{23}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 x + 7}$ ở dạng ${(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 4 x + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x + 7$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Bước 2.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Bước 2.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Bước 2.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Bước 2.7.3

Di chuyển ${(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Bước 2.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Bước 2.9

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Bước 2.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Bước 2.11

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [7])$

Bước 2.12

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0)$

Bước 2.13

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4$

Bước 2.13.2

Kết hợp $\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ và $4$ .

$\frac{4}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.13.3

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 2.14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.14.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{{(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.15

Tính đạo hàm tại $x = 4$ .

$\frac{2}{{(4 (4) + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.16

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{2}{{(16 + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.16.2

Cộng $16$ và $7$ .

$\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ và một điểm đã cho $(4, \sqrt{23})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{23}) = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (4))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - \sqrt{23} = 0 + 0 + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} x + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$

Bước 3.3.1.4

Kết hợp $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$

Bước 3.3.1.5

Nhân $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Kết hợp $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ và $- 4$ .

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 4}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3.1.5.2

Nhân $2$ với $- 4$ .

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3.2

Cộng $\sqrt{23}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{23}$

Bước 3.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để viết $\sqrt{23}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{23} \cdot \frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3.3.2

Kết hợp $\sqrt{23}$ và $\frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + \sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.4.1

Nhân $\sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.4.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{23}$ ở dạng $23^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1}{2}} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3.3.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3.3.4.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1 + 1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3.3.4.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{2}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3.3.4.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.4.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{2}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3.3.4.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{1}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3.3.4.2

Tính số mũ.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3.3.4.3

Cộng $- 8$ và $23$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{15}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3.3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} x + \frac{15}{23^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4