Giải tích Ví dụ

$y = {(e^{3 x} - 4)}^{2}$ , $(0, 9)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 0$ và $y = 9$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = e^{3 x} - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $e^{3 x} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{3 x} - 4]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{3 x} - 4]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $e^{3 x} - 4$ .

$2 (e^{3 x} - 4) \frac{d}{d x} [e^{3 x} - 4]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{3 x} - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 1.4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 1.4.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3 x}$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 1.4.4

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (3 e^{3 x} + 0)$

Bước 1.4.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.5.1

Cộng $3 e^{3 x}$ và $0$ .

$2 (e^{3 x} - 4) (3 e^{3 x})$

Bước 1.4.5.2

Nhân $3$ với $2$ .

$6 (e^{3 x} - 4) e^{3 x}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(6 e^{3 x} + 6 \cdot - 4) e^{3 x}$

Bước 1.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 e^{3 x} e^{3 x} + 6 \cdot - 4 e^{3 x}$

Bước 1.5.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Nhân $e^{3 x}$ với $e^{3 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1.1

Di chuyển $e^{3 x}$ .

$6 (e^{3 x} e^{3 x}) + 6 \cdot - 4 e^{3 x}$

Bước 1.5.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 e^{3 x + 3 x} + 6 \cdot - 4 e^{3 x}$

Bước 1.5.3.1.3

Cộng $3 x$ và $3 x$ .

$6 e^{6 x} + 6 \cdot - 4 e^{3 x}$

Bước 1.5.3.2

Nhân $6$ với $- 4$ .

$6 e^{6 x} - 24 e^{3 x}$

Bước 1.6

Tính đạo hàm tại $x = 0$ .

$6 e^{6 (0)} - 24 e^{3 (0)}$

Bước 1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.1

Nhân $6$ với $0$ .

$6 e^{0} - 24 e^{3 (0)}$

Bước 1.7.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$6 \cdot 1 - 24 e^{3 (0)}$

Bước 1.7.1.3

Nhân $6$ với $1$ .

$6 - 24 e^{3 (0)}$

Bước 1.7.1.4

Nhân $3$ với $0$ .

$6 - 24 e^{0}$

Bước 1.7.1.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$6 - 24 \cdot 1$

Bước 1.7.1.6

Nhân $- 24$ với $1$ .

$6 - 24$

Bước 1.7.2

Trừ $24$ khỏi $6$ .

$- 18$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- 18$ và một điểm đã cho $(0, 9)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = - 18 \cdot (x - (0))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 9 = - 18 \cdot (x + 0)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $x$ và $0$ .

$y - 9 = - 18 x$

Bước 2.3.2

Cộng $9$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - 18 x + 9$

Bước 3