Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ at $x = - 1$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $- 1$ vào cho $x$ .

$y = \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Bước 1.2

Rút gọn $\frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $7$ .

$y = \frac{- 1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Bước 1.2.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Bước 1.2.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $7$ .

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{- 1}$

Bước 1.2.1.4

Chia $7$ cho $- 1$ .

$y = - \frac{1}{7} - - 7$

Bước 1.2.1.5

Nhân $- 1$ với $- 7$ .

$y = - \frac{1}{7} + 7$

Bước 1.2.2

Để viết $7$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{1}{7} + 7 \cdot \frac{7}{7}$

Bước 1.2.3

Kết hợp $7$ và $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{1}{7} + \frac{7 \cdot 7}{7}$

Bước 1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{- 1 + 7 \cdot 7}{7}$

Bước 1.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Nhân $7$ với $7$ .

$y = \frac{- 1 + 49}{7}$

Bước 1.2.5.2

Cộng $- 1$ và $49$ .

$y = \frac{48}{7}$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = - 1$ và $y = \frac{48}{7}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{7}}{7}$ đối với $x$ là $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$\frac{1}{7} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Bước 2.2.3

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{7}$ .

$\frac{7}{7} x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Bước 2.2.4

Kết hợp $\frac{7}{7}$ và $x^{6}$ .

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Bước 2.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Bước 2.2.5.2

Chia $x^{6}$ cho $1$ .

$x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{7}{x^{7}}$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$ .

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{7}}$ ở dạng ${(x^{7})}^{- 1}$ .

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{7})}^{- 1}]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{7}$ .

$x^{6} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Bước 2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$x^{6} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Bước 2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{7}$ .

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} (7 x^{6}))$

Bước 2.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{7})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} - 7 (- x^{7 \cdot - 2} (7 x^{6}))$

Bước 2.3.5.2

Nhân $7$ với $- 2$ .

$x^{6} - 7 (- x^{- 14} (7 x^{6}))$

Bước 2.3.6

Nhân $7$ với $- 1$ .

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 14} x^{6})$

Bước 2.3.7

Nhân $x^{- 14}$ với $x^{6}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Di chuyển $x^{6}$ .

$x^{6} - 7 (- 7 (x^{6} x^{- 14}))$

Bước 2.3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{6} - 7 (- 7 x^{6 - 14})$

Bước 2.3.7.3

Trừ $14$ khỏi $6$ .

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 8})$

Bước 2.3.8

Nhân $- 7$ với $- 7$ .

$x^{6} + 49 x^{- 8}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{6} + 49 \frac{1}{x^{8}}$

Bước 2.4.2

Kết hợp $49$ và $\frac{1}{x^{8}}$ .

$x^{6} + \frac{49}{x^{8}}$

Bước 2.5

Tính đạo hàm tại $x = - 1$ .

${(- 1)}^{6} + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $6$ .

$1 + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

Bước 2.6.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $8$ .

$1 + \frac{49}{1}$

Bước 2.6.1.3

Chia $49$ cho $1$ .

$1 + 49$

Bước 2.6.2

Cộng $1$ và $49$ .

$50$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $50$ và một điểm đã cho $(- 1, \frac{48}{7})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{48}{7}) = 50 \cdot (x - (- 1))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $50 \cdot (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{48}{7} = 0 + 0 + 50 \cdot (x + 1)$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50 \cdot 1$

Bước 3.3.1.4

Nhân $50$ với $1$ .

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $\frac{48}{7}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 50 x + 50 + \frac{48}{7}$

Bước 3.3.2.2

Để viết $50$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$y = 50 x + 50 \cdot \frac{7}{7} + \frac{48}{7}$

Bước 3.3.2.3

Kết hợp $50$ và $\frac{7}{7}$ .

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7}{7} + \frac{48}{7}$

Bước 3.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7 + 48}{7}$

Bước 3.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.5.1

Nhân $50$ với $7$ .

$y = 50 x + \frac{350 + 48}{7}$

Bước 3.3.2.5.2

Cộng $350$ và $48$ .

$y = 50 x + \frac{398}{7}$

Bước 4