Giải tích Ví dụ

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(- \frac{π}{4}, 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = - \frac{π}{4}$ và $y = 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Bước 1.3

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Bước 1.4

Tính đạo hàm tại $x = - \frac{π}{4}$ .

$2 \sec^{2} (- \frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$2 \sec^{2} (\frac{7 π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.3

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{4})$ là $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.4

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.5.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.5.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.5.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.5.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.5.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.5.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.5.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.5.6.5

Tính số mũ.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.6.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.7

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 \cdot 2^{1} \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.7.5

Tính số mũ.

$2 \cdot 2 \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.8

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \tan (- \frac{π}{4})$

Bước 1.5.9

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$4 \tan (\frac{7 π}{4})$

Bước 1.5.10

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì tang âm trong góc phần tư thứ tư.

$4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Bước 1.5.11

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$4 (- 1 \cdot 1)$

Bước 1.5.12

Nhân $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.12.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 \cdot - 1$

Bước 1.5.12.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 4$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- 4$ và một điểm đã cho $(- \frac{π}{4}, 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 4 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 1 = 0 + 0 - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 1 = - 4 x - 4 \frac{π}{4}$

Bước 2.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y - 1 = - 4 x + 4 (- 1) \frac{π}{4}$

Bước 2.3.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - 1 = - 4 x + 4 \cdot - 1 \frac{π}{4}$

Bước 2.3.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$y - 1 = - 4 x - 1 π$

Bước 2.3.1.5

Viết lại $- 1 π$ ở dạng $- π$ .

$y - 1 = - 4 x - π$

Bước 2.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - 4 x - π + 1$

Bước 3