Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$ , $(- 1, \frac{1}{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = - 1$ và $y = \frac{1}{2}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\frac{1}{1 + x^{2}}$ ở dạng ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Bước 1.3.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Bước 1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Bước 1.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Bước 1.4.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 1.4.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 1.5

Tính đạo hàm tại $x = - 1$ .

$- \frac{2 (- 1)}{{(1 + {(- 1)}^{2})}^{2}}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{- 2}{{(1 + {(- 1)}^{2})}^{2}}$

Bước 1.6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{- 2}{{(1 + 1)}^{2}}$

Bước 1.6.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{- 2}{2^{2}}$

Bước 1.6.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{- 2}{4}$

Bước 1.6.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$- \frac{2 (- 1)}{4}$

Bước 1.6.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Bước 1.6.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Bước 1.6.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{- 1}{2}$

Bước 1.6.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{1}{2}$

Bước 1.6.4

Nhân $- - \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Bước 1.6.4.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{1}{2}$ và một điểm đã cho $(- 1, \frac{1}{2})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (x - (- 1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{1}{2} \cdot (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 2.3.1.5

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $\frac{1}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 2.3.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x + 1 + 1}{2}$

Bước 2.3.2.3

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \frac{x + 2}{2}$

Bước 2.3.2.4

Tách phân số $\frac{x + 2}{2}$ thành hai phân số.

$y = \frac{x}{2} + \frac{2}{2}$

Bước 2.3.2.5

Chia $2$ cho $2$ .

$y = \frac{x}{2} + 1$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{1}{2} x + 1$

Bước 3