Giải tích Ví dụ

$y = 3 \arcsin (x)$ , $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{1}{2}$ và $y = \frac{π}{2}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \arcsin (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arcsin (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Bước 1.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Bước 1.4

Tính đạo hàm tại $x = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}}$

Bước 1.5.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}}$

Bước 1.5.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}}$

Bước 1.5.1.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}}$

Bước 1.5.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}}$

Bước 1.5.1.6

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\frac{3}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$

Bước 1.5.1.7

Viết lại $\sqrt{\frac{3}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}}$

Bước 1.5.1.8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.8.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Bước 1.5.1.8.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Bước 1.5.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$3 \frac{2}{\sqrt{3}}$

Bước 1.5.3

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$3 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Bước 1.5.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 1.5.4.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 1.5.4.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 1.5.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 1.5.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 1.5.4.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.5.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.5.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.5.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.5.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 1.5.4.6.5

Tính số mũ.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Bước 1.5.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Bước 1.5.5.2

Viết lại biểu thức.

$2 \sqrt{3}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $2 \sqrt{3}$ và một điểm đã cho $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{2}) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{π}{2} = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{1}{2})$

Bước 2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.1.2.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 (\sqrt{3}) \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.1.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.1.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3}$

Bước 2.3.1.3.2

Viết lại $- 1 \sqrt{3}$ ở dạng $- \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3}$

Bước 2.3.2

Cộng $\frac{π}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} + \frac{π}{2}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để viết $- \sqrt{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Bước 2.3.3.2

Kết hợp $- \sqrt{3}$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Bước 2.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 + π}{2}$

Bước 2.3.3.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \sqrt{3} + π}{2}$

Bước 2.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) + π}{2}$

Bước 2.3.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $π$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)}{2}$

Bước 2.3.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

Bước 2.3.3.8

Viết lại $- (2 \sqrt{3} - π)$ ở dạng $- 1 (2 \sqrt{3} - π)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

Bước 2.3.3.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 \sqrt{3} - π}{2}$

Bước 3