Giải tích Ví dụ

$y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ , $(2, 0)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = 0$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.2.3

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.2.5

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.2.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)$

Bước 1.2.7

Cộng $2 x - 2$ và $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Bước 1.3.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Bước 1.3.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Bước 1.3.2.3

Viết lại đa thức này.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Bước 1.3.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.3

Nhân $2 x - 2$ với $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x - 1$ và ${(x - 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài $2 (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Bước 1.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Bước 1.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{x - 1}$

Bước 1.4

Tính đạo hàm tại $x = 2$ .

$\frac{2}{(2) - 1}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{2}{1}$

Bước 1.5.2

Chia $2$ cho $1$ .

$2$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $2$ và một điểm đã cho $(2, 0)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 2 \cdot (x - (2))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 0 = 2 \cdot (x - 2)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $y$ và $0$ .

$y = 2 \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.2

Rút gọn $2 \cdot (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2$

Bước 2.3.2.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$y = 2 x - 4$

Bước 3