Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(\frac{x + 3}{x - 1})}^{2}$ ; $(5, 4)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 5$ và $y = 4$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$2 \frac{x + 3}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Bước 1.2

Kết hợp $2$ và $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x + 3$ và $g (x) = x - 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.4.3

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.4.4.2

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.4.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.4.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.4.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.4.8.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.4.8.3

Nhân $\frac{2 (x + 3)}{x - 1}$ với $\frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.5

Nhân $x - 1$ với ${(x - 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $x - 1$ với ${(x - 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nâng $x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

Bước 1.5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 1 - x - 1 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.2.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{(2 x + 6) (0 - 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.3.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.3.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.3.4

Trừ $3$ khỏi $- 1$ .

$\frac{(2 x + 6) \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.3.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x \cdot - 4 + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.3.6

Nhân $- 4$ với $2$ .

$\frac{- 8 x + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.3.7

Nhân $6$ với $- 4$ .

$\frac{- 8 x - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.4

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 x - 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.1

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 x$ .

$\frac{8 (- x) - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.4.2

Đưa $8$ ra ngoài $- 24$ .

$\frac{8 (- x) + 8 (- 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.4.3

Đưa $8$ ra ngoài $8 (- x) + 8 (- 3)$ .

$\frac{8 (- x - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{8 (- (x) - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.6

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.8

Viết lại $- (x + 3)$ ở dạng $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{8 (- 1 (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.6.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8 (x + 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.7

Tính đạo hàm tại $x = 5$ .

$- \frac{8 ((5) + 3)}{{((5) - 1)}^{3}}$

Bước 1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Cộng $5$ và $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{{(5 - 1)}^{3}}$

Bước 1.8.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.2.1

Trừ $1$ khỏi $5$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{4^{3}}$

Bước 1.8.2.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{64}$

Bước 1.8.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.3.1

Nhân $8$ với $8$ .

$- \frac{64}{64}$

Bước 1.8.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{64}{64}$

Bước 1.8.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 1$

Bước 1.8.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- 1$ và một điểm đã cho $(5, 4)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 1 \cdot (x - (5))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- 1 \cdot (x - 5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 4 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 5)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 4 = - 1 x - 1 \cdot - 5$

Bước 2.3.1.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.4.1

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y - 4 = - x - 1 \cdot - 5$

Bước 2.3.1.4.2

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$y - 4 = - x + 5$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - x + 5 + 4$

Bước 2.3.2.2

Cộng $5$ và $4$ .

$y = - x + 9$

Bước 3