Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ , $(π, - 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = π$ và $y = - 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 + \sin (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.4

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.8

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.9

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.9.2

Nhân $1 + \sin (x)$ với $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.10.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.2.1.1

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.10.2.1.2

Nhân $\sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.2.1.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.10.2.1.2.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.10.2.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.10.2.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.10.2.2

Di chuyển $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.10.2.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.10.2.4

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1.11

Tính đạo hàm tại $x = π$ .

$\frac{1 + \sin (π)}{\cos^{2} (π)}$

Bước 1.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{1 + \sin (0)}{\cos^{2} (π)}$

Bước 1.12.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1 + 0}{\cos^{2} (π)}$

Bước 1.12.1.3

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (π)}$

Bước 1.12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{1}{{(- \cos (0))}^{2}}$

Bước 1.12.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{{(- 1 \cdot 1)}^{2}}$

Bước 1.12.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Bước 1.12.2.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{1}$

Bước 1.12.3

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1}$

Bước 1.12.3.2

Viết lại biểu thức.

$1$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $1$ và một điểm đã cho $(π, - 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (π))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 1 = 1 \cdot (x - π)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $x - π$ với $1$ .

$y + 1 = x - π$

Bước 2.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = x - π - 1$

Bước 3