Giải tích Ví dụ

$\int \frac{18 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} + 4}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{3} + 4$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{3} + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{3} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{6}{\sqrt[3]{u}} d u$

Bước 2

Vì $6$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Bước 3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$6 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$6 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Bước 3.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Bước 3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$6 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Bước 3.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$6 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $6 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ ở dạng $6 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$6 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 5.2

Viết lại $6 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ ở dạng $9 u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$9 u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} + 4$ .

$9 {(x^{3} + 4)}^{\frac{2}{3}} + C$