Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} (x^{3} + x) {(x^{4} + 2 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Sau đó $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2} + 9]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $4 x^{3} + 4 x$ và $0$ .

$4 x^{3} + 4 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$u_{lower} = 0^{4} + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Bước 1.3.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 + 9$

Bước 1.3.1.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 9$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $0$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Bước 1.3.3

Cộng $0$ và $9$ .

$u_{lower} = 9$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$u_{upper} = 1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Bước 1.5.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 + 9$

Bước 1.5.1.3

Nhân $2$ với $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 + 9$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $2$ .

$u_{upper} = 3 + 9$

Bước 1.5.3

Cộng $3$ và $9$ .

$u_{upper} = 12$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 12$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int_{9}^{12} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{12}$

Bước 5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $12$ và tại $9$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 12^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $12^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 5.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 5.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Bước 5.3.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Bước 5.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nhân $27$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Bước 5.3.2.2

Kết hợp $- 27$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Bước 5.3.2.3

Nhân $- 27$ với $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Bước 5.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 54$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Bước 5.3.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Bước 5.3.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Bước 5.3.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Bước 5.3.2.4.2.4

Chia $- 18$ cho $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Dạng thập phân:

$2.42820323 \dots$