Giải tích Ví dụ

$\int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{5 \sqrt{x}} d x$

Bước 1

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} \int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 2.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 2.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 2.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , nên $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{\frac{1}{2}} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.3.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0$

Bước 3.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Bước 3.1.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Bước 3.1.5.2.2

Cộng $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{5} \int 2 u^{2} d u$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} (2 \int u^{2} d u)$

Bước 5

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} \int u^{2} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ ở dạng $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{2}{5}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{5 \cdot 3} u^{3} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{2}{15} u^{3} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{2}{15} {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{3} + C$