Giải tích Ví dụ

$\int x \sqrt[3]{3 - 2 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 3 - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 3 - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$0 - 2$

Bước 1.1.4

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$- 2$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 2.2

Kết hợp $\sqrt[3]{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (\frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \int - \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Bước 5.2

Kết hợp $- \frac{u}{2}$ và $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ .

$- \int - \frac{u \cdot u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Bước 5.3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$- \int - \frac{u^{1} u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Bước 5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \int - \frac{u^{1 + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Bước 5.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Bước 5.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \int - \frac{u^{\frac{3 + 1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Bước 5.7

Cộng $3$ và $1$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Bước 5.8

Nhân $2$ với $2$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Bước 5.9

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} d u$

Bước 5.10

Nhân $2$ với $2$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u$

Bước 5.11

Sắp xếp lại $- \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4}$ và $\frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$- \int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- (\int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Bước 7

Vì $\frac{3}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{3}{4}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{3}{4} \int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Bước 9

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Bước 11

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{4}{3}} d u))$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{4}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C))$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{3}{7}$ và $u^{\frac{7}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C))$

Bước 13.2

Rút gọn.

$- (\frac{9 u^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$- (\frac{9}{16} u^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} u^{\frac{7}{3}}) + C$

Bước 15

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 - 2 x$ .

$- (\frac{9}{16} {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Kết hợp $\frac{9}{16}$ và ${(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

Bước 16.1.2

Kết hợp ${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ và $\frac{3}{28}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3}{28}) + C$

Bước 16.1.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

Bước 16.2

Để viết $\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

Bước 16.3

Để viết $- \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Bước 16.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $112$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.1

Nhân $\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ với $\frac{7}{7}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{16 \cdot 7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Bước 16.4.2

Nhân $16$ với $7$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Bước 16.4.3

Nhân $\frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ với $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{28 \cdot 4}) + C$

Bước 16.4.4

Nhân $28$ với $4$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112}) + C$

Bước 16.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

Bước 16.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.6.1

Nhân $7$ với $9$ .

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

Bước 16.6.2

Nhân $4$ với $- 3$ .

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{112} (63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$