Giải tích Ví dụ

$\int \frac{5 y - 10}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

Bước 1

Đưa $5$ ra ngoài $5 y - 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 y$ .

$\int \frac{5 (y) - 10}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

Bước 1.2

Đưa $5$ ra ngoài $- 10$ .

$\int \frac{5 y + 5 \cdot - 2}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

Bước 1.3

Đưa $5$ ra ngoài $5 y + 5 \cdot - 2$ .

$\int \frac{5 (y - 2)}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

Bước 2

Giả sử $u = y^{2} - 4 y + 11$ . Sau đó $d u = (2 y - 4) d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = (y - 2) d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = y^{2} - 4 y + 11$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $y^{2} - 4 y + 11$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 4 y + 11]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} - 4 y + 11$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [11]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [11]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [11]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 4 y$ đối với $y$ là $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 y - 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [11]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 y - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [11]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$2 y - 4 + \frac{d}{d y} [11]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $11$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $11$ đối với $y$ là $0$ .

$2 y - 4 + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $2 y - 4$ và $0$ .

$2 y - 4$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{5}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{5}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{5}{u \cdot 2} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int \frac{5}{2 u} d u$

Bước 4

Vì $\frac{5}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{5}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{2} (\ln (| u |) + C)$

Bước 6

Rút gọn.

$\frac{5}{2} \ln (| u |) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y^{2} - 4 y + 11$ .

$\frac{5}{2} \ln (| y^{2} - 4 y + 11 |) + C$