Giải tích Ví dụ

$\int \frac{13 x^{12} + x^{5}}{\sqrt{6 x^{13} + x^{6}}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 6 x^{13} + x^{6}$ . Sau đó $d u = (78 x^{12} + 6 x^{5}) d x$ , nên $\frac{1}{6} d u = (13 x^{12} + x^{5}) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 6 x^{13} + x^{6}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $6 x^{13} + x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{13} + x^{6}]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x^{13} + x^{6}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x^{13}] + \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{13}] + \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{13}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{13}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{13}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{13}] + \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 13$ .

$6 (13 x^{12}) + \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $13$ với $6$ .

$78 x^{12} + \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$78 x^{12} + 6 x^{5}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 6.2

Viết lại $\frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ ở dạng $\frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $6 x^{13} + x^{6}$ .

$\frac{1}{3} {(6 x^{13} + x^{6})}^{\frac{1}{2}} + C$