Giải tích Ví dụ

$\int (\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) d x$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}} d x$

Bước 1.2.2

Di chuyển $\sqrt{x}$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})} d x$

Bước 1.2.3

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} d x$

Bước 1.2.4

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} d x$

Bước 1.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} d x$

Bước 1.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}} d x$

Bước 1.2.7

Viết lại ${\sqrt{x}}^{2}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Bước 1.2.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

Bước 1.2.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

Bước 1.2.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

Bước 1.2.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}} d x$

Bước 1.2.7.5

Rút gọn.

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int (\sqrt{\frac{u_{1}}{2}} + \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{\frac{u_{1}}{2}} + \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1}$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{\frac{u_{1}}{2}} d u_{1} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Bước 5

Giả sử $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , nên $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Bước 5.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $\frac{u_{1}}{2}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{u_{2}} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{u_{2}} (1 \cdot 2) d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{u_{2}} \cdot 2 d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Bước 6.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\int 2 \sqrt{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (2 \int \sqrt{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Bước 8

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{2}}$ ở dạng ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Bước 10

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Bước 11

Giả sử $u_{3} = \frac{u_{1}}{2}$ . Sau đó $d u_{3} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , nên $2 d u_{3} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u_{3} = \frac{u_{1}}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Bước 11.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $\frac{u_{1}}{2}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 11.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{3})$

Bước 12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} (1 \cdot 2) d u_{3})$

Bước 12.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} \cdot 2 d u_{3})$

Bước 12.1.3

Kết hợp $\frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}}$ và $2$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}} \cdot 2}{2 u_{3}} d u_{3})$

Bước 12.1.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u_{3}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{2 \cdot \sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} d u_{3})$

Bước 12.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{2 \sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} d u_{3})$

Bước 12.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{u_{3}} d u_{3})$

Bước 12.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{3}}$ ở dạng ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{u_{3}} d u_{3})$

Bước 12.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Di chuyển ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{3})$

Bước 12.3.2

Nhân $u_{3}$ với ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1

Nhân $u_{3}$ với ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1.1

Nâng $u_{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{3})$

Bước 12.3.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{3})$

Bước 12.3.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{3})$

Bước 12.3.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{3})$

Bước 12.3.2.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} d u_{3})$

Bước 12.4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Di chuyển ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{3})$

Bước 12.4.2

Nhân các số mũ trong ${({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{3})$

Bước 12.4.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{3})$

Bước 12.4.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u_{3}$ là $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (\frac{4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 14.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 15

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 15.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 15.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 16.1.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 16.1.2

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 16.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 16.1.3.2

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 16.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 16.3

Kết hợp.

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 16.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (2 (x^{\frac{1}{2}})) + C$

Bước 16.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 16.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 16.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $1 (4 x^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 (2 x^{\frac{3}{2}}))}{2 \cdot 3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 16.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 (2 x^{\frac{3}{2}}))}{2 (3)} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 16.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (1 (2 x^{\frac{3}{2}}))}{2 \cdot 3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 16.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 16.5.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + C$