Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} {(2 t + 1)}^{3} d t$

Bước 1

Giả sử $u = 2 t + 1$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 t + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = 2 t + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = 2 t + 1$ .

$u_{upper} = 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Bước 1.5.1.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = 1 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{2} u^{3} \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{3}}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{2}$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{4} u^{4}$ tại $2$ và tại $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 5.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 5.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 5.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 5.3.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Bước 5.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4})$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Bước 5.5.2

Kết hợp $4$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Bước 5.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Bước 5.5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16 - 1}{4}$

Bước 5.5.4.2

Trừ $1$ khỏi $16$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

Bước 5.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

Bước 5.6.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{15}{8}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{15}{8}$

Dạng thập phân:

$1.875$

Dạng hỗn số:

$1 \frac{7}{8}$