Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Bước 1

Viết biểu thức bằng số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 x^{2}}} d x$

Bước 1.2

Viết lại $9 x^{2}$ ở dạng ${(3 x)}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 (\frac{1}{6})$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 (2)}$

Bước 2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

Bước 2.5.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ đối với $u$ là $\arcsin (u)$

$\frac{1}{3} \arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$

Bước 5

Tính $\arcsin (u)$ tại $\frac{1}{2}$ và tại $0$ .

$\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (0))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} - \arcsin (0))$

Bước 6.1.2

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} - 0)$

Bước 6.1.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} + 0)$

Bước 6.2

Cộng $\frac{π}{6}$ và $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{π}{6}$

Bước 6.3

Nhân $\frac{1}{3} \cdot \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{3 \cdot 6}$

Bước 6.3.2

Nhân $3$ với $6$ .

$\frac{π}{18}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{18}$

Dạng thập phân:

$0.17453292 \dots$

Bước 8