Giải tích Ví dụ

$\int x \sin (2 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{u}{2} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{u}{2}$ và $\sin (u)$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{u \sin (u)}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2 \cdot 2} d u$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{4} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int u \sin (u) d u$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u$ và $dv = \sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Bước 6.2

Nhân $\int \cos (u) d u$ với $1$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Bước 7

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Bước 8

Viết lại $\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ ở dạng $\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{1}{4} (- (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

Bước 10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Bước 10.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Bước 10.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x \cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Bước 10.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Bước 10.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (- x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Bước 10.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Bước 10.5

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Bước 10.6

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Bước 10.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$