Giải tích Ví dụ

$\int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Bước 1

Viết lại ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ ở dạng $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ .

$\int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

Bước 2

Khai triển $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 3.1.1.2

Cộng $x$ và $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 3.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 3.1.3

Nhân $e^{x}$ với $e^{- x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Di chuyển $e^{- x}$ .

$\int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 3.1.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 3.1.3.3

Cộng $- x$ và $x$ .

$\int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 3.1.4

Rút gọn $- e^{0}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 3.1.5

Nhân $e^{- x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 3.1.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 3.1.5.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 3.1.6

Rút gọn $- e^{0}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 3.1.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

Bước 3.1.8

Nhân $e^{- x}$ với $e^{- x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.8.1

Di chuyển $e^{- x}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

Bước 3.1.8.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

Bước 3.1.8.3

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

Bước 3.1.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

Bước 3.1.10

Nhân $e^{- 2 x}$ với $1$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

Bước 3.2

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$\int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

Bước 4

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 4.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- 2 \frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- 2 u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 u_{1}$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- u_{1}}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.2.2.4

Chia $- u_{1}$ cho $1$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}} d u_{1}$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

Bước 8

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

Bước 10

Giả sử $u_{2} = - u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = - d u_{1}$ , nên $- d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u_{2} = - u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

Bước 10.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $- u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 11

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 12

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - (e^{u_{2}} + C))$

Bước 13

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} - 2 u_{1} - e^{u_{2}}) + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{u_{2}}) + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- u_{1}}) + C$

Bước 14.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- (2 x)}) + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- (2 x)}) + C$

Bước 15.1.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- 2 x}) + C$

Bước 15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Bước 15.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Bước 15.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 x$ .

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Bước 15.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Bước 15.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Bước 15.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$