Giải tích Ví dụ

$\int \frac{2 r}{{(1 - r)}^{7}} d r$

Bước 1

Giả sử $u = 1 - r$ . Sau đó $d u = - d r$ , nên $- d u = d r$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 - r$ . Tìm $\frac{d u}{d r}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 - r$ .

$\frac{d}{d r} [1 - r]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - r$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$ .

$\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $r$ , đạo hàm của $1$ đối với $r$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [- r]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d r} [- r]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $- r$ đối với $r$ là $- \frac{d}{d r} [r]$ .

$0 - \frac{d}{d r} [r]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - 1$

Bước 1.1.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{- 2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$- (2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u$

Bước 5.2

Di chuyển $u^{7}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- 2 \int (- u + 1) {(u^{7})}^{- 1} d u$

Bước 5.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{7})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int (- u + 1) u^{7 \cdot - 1} d u$

Bước 5.3.2

Nhân $7$ với $- 1$ .

$- 2 \int (- u + 1) u^{- 7} d u$

Bước 6

Nhân $(- u + 1) u^{- 7}$ .

$- 2 \int - u \cdot u^{- 7} + 1 u^{- 7} d u$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $u$ với $u^{- 7}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Di chuyển $u^{- 7}$ .

$- 2 \int - (u^{- 7} u) + 1 u^{- 7} d u$

Bước 7.1.2

Nhân $u^{- 7}$ với $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 \int - (u^{- 7} u^{1}) + 1 u^{- 7} d u$

Bước 7.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 \int - u^{- 7 + 1} + 1 u^{- 7} d u$

Bước 7.1.3

Cộng $- 7$ và $1$ .

$- 2 \int - u^{- 6} + 1 u^{- 7} d u$

Bước 7.2

Nhân $u^{- 7}$ với $1$ .

$- 2 \int - u^{- 6} + u^{- 7} d u$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- 2 (\int - u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- 2 (- \int u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 6}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5} u^{- 5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $u^{- 5}$ và $\frac{1}{5}$ .

$- 2 (- (- \frac{u^{- 5}}{5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Bước 11.2

Di chuyển $u^{- 5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 7}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{6} u^{- 6}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6} u^{- 6} + C)$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Kết hợp $u^{- 6}$ và $\frac{1}{6}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{u^{- 6}}{6} + C)$

Bước 13.1.2

Di chuyển $u^{- 6}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6 u^{6}} + C)$

Bước 13.2

Rút gọn.

$- 2 (\frac{1}{5 u^{5}} - \frac{1}{6 u^{6}}) + C$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - r$ .

$- 2 (\frac{1}{5 {(1 - r)}^{5}} - \frac{1}{6 {(1 - r)}^{6}}) + C$