Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{π} \sec^{2} (\frac{t}{4}) d t$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{t}{4}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{4} d t$ , nên $4 d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{t}{4}$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{t}{4}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{4}]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{t}{4}$ đối với $t$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = \frac{t}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

Bước 1.3

Chia $0$ cho $4$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = \frac{t}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Bước 1.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Bước 1.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 4) d u$

Bước 2.2

Nhân $4$ với $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 4 d u$

Bước 2.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{2} (u) d u$

Bước 3

Vì $4$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

Bước 4

Vì đạo hàm của $\tan (u)$ là $\sec^{2} (u)$ , tích phân của $\sec^{2} (u)$ là $\tan (u)$ .

$4 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\tan (u)$ tại $\frac{π}{4}$ và tại $0$ .

$4 ((\tan (\frac{π}{4})) - \tan (0))$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$4 (1 - \tan (0))$

Bước 5.2.2

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$4 (1 - 0)$

Bước 5.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$4 (1 + 0)$

Bước 5.2.4

Cộng $1$ và $0$ .

$4 \cdot 1$

Bước 5.2.5

Nhân $4$ với $1$ .

$4$